小学 · 数与运算
自然数 · 负数 · 乘除法 · 分数 · 四则运算
自然数的加减法
| 知识板块 | 核心知识点 | 能力要求 | 3D 实验 |
|---|---|---|---|
| 用符号表示数量 基础 | 用数字符号表示数量；从1数到100；比99多的数是100 | 正确数数；理解位值概念 | 🔵 符号计数 |
| 成员个数 基础 | 两个两个数；三个三个数；五个五个数；10个10个数；100、1000、10000的认识 | 按群数数；感知十进制规律 | 🔵 成员个数 |
| 长度 基础 | 认识长度单位：厘米（cm）、米（m）、千米（km）；测量物体长度；测量纸张迁移沿的长度 | 正确使用刻度尺；单位换算 | 🔵 长度测量 |
| 数轴 基础 | 认识数轴（原点、单位长度、正方向）；在数轴上表示数；用数轴比较大小 | 画数轴；用数轴表示整数 | 🔵 数轴 |
| 数轴上做加法 基础 | 在数轴上跳步数数；往前数做加法；在数轴上做加法 | 理解加法的几何意义 | 🔵 数轴加法 |
| 字母表示数 基础 | 用字母表示数；用字母表示数量关系；用字母正式定义加法运算 | 从具体数过渡到符号表示 | 🔵 字母代数 |
| 加法的运算律 基础 | 加法交换律 a+b=b+a；加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c) | 简算技巧；验算 | 🔵 运算律 |
| 数的分解 基础 | 分拆凑十法；20以内的加法表；两位数、三位数加法；比1000更大的数 | 凑十计算；竖式计算 | 🔵 数的分解 |
负数与加减
| 知识板块 | 核心知识点 | 能力要求 | 3D 实验 |
|---|---|---|---|
| 向量简介 基础 | 太阳、地球和东、西、南、北；向量简介；向量加法的几何（图形）规则 | 理解方向与位移 | 🔵 向量简介 |
| 引入负数和减法 基础 五年级新授 | 同一条直线上的运动；坐标轴上的负数；相反数；取反变换与"负负得正"；减法是加法的逆运算 | 理解负数意义；用数轴表示负数 | 🔵 负数 |
| 减法进阶 基础 | 减法后剩下多少；谁比谁多多少，谁比谁少多少；如何减一个比自己大的数；数轴上两点的距离；一个负数减去一个正数 | 熟练进行整数减法运算 | 🔵 减法进阶 |
| 对加减法运算的一些优化 基础 | 破十法的计算；20以内的减法表；加减号和去括号的规则 | 快速准确计算 | 🔵 运算优化 |
| 加减法的应用：时间 基础 | 秒、分、时；天、年；测量时间；时刻与经过时间 | 时间单位换算 | 🔵 时间应用 |
乘除法和分数初步
| 知识板块 | 核心知识点 | 能力要求 | 3D 实验 |
|---|---|---|---|
| 初识乘法 基础 | 乘法的定义；乘法交换律；乘法口诀表；含有乘数的乘除法；乘法分配律 | 熟练背诵乘法口诀 | 🔵 初识乘法 |
| 乘法分配律和结合律 基础 | 乘法结合律 (a×b)×c=a×(b×c)；倍数关系 | 灵活运用运算律简算 | 🔵 乘法定律 |
| 认识与除法 基础 | 除法是乘法的逆运算；乘法交换律和除法；自然数除法的两种等价的定义；几种特殊情形下的除法 | 理解除法意义 | 🔵 认识除法 |
| 除法运算及其简单应用 基础 | 除法在分配律；奇数和偶数；除法竖式 | 整数除法计算 | 🔵 除法应用 |
| 四则混合运算初步 基础 | 不含括号的混合运算；混合运算的运算律 | 按运算顺序准确计算 | 🔵 四则混合 |
| 初识分数 基础 六年级重点 | 分数的起源：13÷2=？商的位置在哪里；数轴上解释 23÷13=2；用符号表示分数；分数与整数相乘的算法；真分数、假分数与带分数 | 理解分数意义；分数基本性质；分数比较大小 | 🔵 分数数轴 |
| 3D 实验说明： ◈ 分数数轴 — 在数轴上展示分数位置，真分数（<1）、假分数（≥1）、带分数的表示与互化 ◈ 分数比较 — 拖动分子分母，观察分数大小变化，理解分数基本性质 ◈ 分数运算 — 分数加减乘除的几何意义可视化 |
几何
| 知识板块 | 核心知识点 | 能力要求 | 3D 实验 |
|---|---|---|---|
| 角的大小、特殊的角 基础 | 欧几里得几何的五条公理；定义角的大小；直角、平角、锐角、钝角 | 识别和测量角 | 🔵 角与度量 |
| 三角形 基础 | 特殊角的关系；同位角和平行；何为三角形；三角形的内角和与外角和；三角形的分类 | 三角形内角和=180° | 🔵 三角形 |
| 四边形 基础 | 两个非常奇妙的结果；四边形的定义；平行四边形 | 识别和分类四边形 | 🔵 四边形 |
| 图形 基础 | 梯形；实验：三角形的稳定性；周长；正方形周长 | 图形特征与应用 | 🔵 图形周长 |
| 变换与对称性 基础 | 实验：测量圆的周长；周长与圆周率；量角规；对称性；平移与旋转；轴对称与镜面反射；线段 | 理解图形变换 | 🔵 变换对称 |
四则运算进阶
| 知识板块 | 核心知识点 | 能力要求 | 3D 实验 |
|---|---|---|---|
| 竖式加法和竖式减法 基础 | 竖式加法；竖式减法；速位加法；速位减法；概数；进位 | 准确竖式计算 | 🔵 竖式加减 |
| 竖式乘法 基础 | 竖式乘法；整十的数乘两位数；整十与百乘两位数；多位数乘多位数的竖式 | 多位数乘法竖式 | 🔵 竖式乘法 |
| 乘方与开方运算初步 基础 | 平方、立方、n次方；乘方运算的两个重要性质；开方运算 | 理解乘方与开方互为逆运算 | 🔵 乘方开方 |
| 竖式除法 基础 | 利用连运算来算除法；整除和带余数除法；长除法；两位数除以一位数的竖式除法 | 除法竖式计算 | 🔵 竖式除法 |
| 除数是两位数的除法 基础 | 长除法：除数30以下；整十的数除以整十的数；三位数除以两位数的竖式除法；乘除法的混合运算 | 多位数除法竖式 | 🔵 两位数除法 |
| 最大公因数和最小公倍数 基础 | 质数、质因数；最大公因数；最小公倍数；互质数 | 求两个数的最大公因数和最小公倍数 | 🔵 GCD/LCM |
几何（下）
| 知识板块 | 核心知识点 | 能力要求 | 3D 实验 |
|---|---|---|---|
| 认识立体图形 基础 | 三视图；几种常见的立体图形；立体图形的展开图；关于面积和体积的直观认识 | 识别立体图形；看视图 | 🔵 立体图形 |
| 面积 基础 | 面积的定义；一些常见平面图形的面积；勾股定理（毕达哥拉斯定理） | 会用公式求面积 | 🔵 面积 |
| 立体图形的表面积和体积 基础 | 长方体和正方体的表面积；体积；常见几何体的体积；阿基米德原理 | 表面积和体积计算 | 🔵 体积 |
初中 · 数与代数
有理数 · 整式 · 方程 · 函数
有理数与实数
| 知识板块 | 核心知识点 | 能力要求 | 3D 实验 |
|---|---|---|---|
| 有理数 基础 | 整数+分数（有限小数或无限循环小数）；数轴三要素：原点、正方向、单位长度；相反数（a→-a）；绝对值 |a|的几何意义 | 在数轴上表示有理数；求绝对值；化简绝对值符号 | — |
| 有理数运算 基础 | 加法：同号取同号+绝对值，异号取绝对值大者符号；减法：加上相反数；乘法：同号正异号负；除法：乘以倒数；运算律 | 准确计算含符号的有理数运算 | — |
| 乘方与科学记数法 基础 | aⁿ（n个a相乘）；正负指数幂；零指数幂 a⁰=1；科学记数法：a×10ⁿ（1≤a<10） | 计算乘方；用科学记数法表示大/小数 | — |
| 实数 基础 | 无理数（无限不循环小数）；实数=有理数+无理数；平方根（√a，a≥0）；立方根（∛a）；根号运算化简 | 求平方根/立方根；根号内移出/化简 | — |
| 二次根式 基础 | √a（a≥0）的性质；√a²=|a|；乘除：√ab=√a·√b；最简二次根式；分母有理化 | 化简二次根式；分母有理化 | — |
整式与因式分解
| 知识板块 | 核心知识点 | 能力要求 | 3D 实验 |
|---|---|---|---|
| 整式 基础 | 单项式（数或字母乘积）/多项式；同类项合并；幂运算法则：aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ，(aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ，(ab)ⁿ=aⁿbⁿ | 正确识别项与次数；幂的混合运算 | — |
| 整式加减 基础 | 去括号法则（括号前+不变，括号前-全变号）；合并同类项 | 化简求值 | — |
| 乘法公式 基础 | (a+b)(a-b)=a²-b²；(a±b)²=a²±2ab+b²；(a±b)(a²∓ab+b²)=a³±b³；三项完全平方 | 运用公式进行乘法运算 | — |
| 因式分解 基础 | 提取公因式法；乘法公式逆用（a²-b²，a²±2ab+b²）；十字相乘法（x²+(p+q)x+pq）；分组分解 | 将多项式分解为不可再分因式 | — |
| 分式 八年级重点 | 分式定义（B≠0）；分式基本性质（分子分母同乘除非零式）；分式乘除/加减（通分）；分式方程 | 分式运算；解分式方程（检验增根） | — |
方程与不等式
| 知识板块 | 核心知识点 | 能力要求 | 3D 实验 |
|---|---|---|---|
| 一元一次方程 基础 | 等式性质（同加同减、同乘同除）；解方程步骤：去分母→去括号→移项→合并→系数化为1；行程/工程/销售问题 | 规范解题；列方程解应用题 | — |
| 二元一次方程组 基础 | 代入消元法；加减消元法；解的检验；实际应用（配套/行程/浓度问题） | 用消元法解方程组；实际建模 | — |
| 一元二次方程 九年级核心 | 直接开平方法；配方法（x²+px+(p/2)²）；求根公式 x = (-b±√Δ)/2a；判别式 Δ=b²-4ac；韦达定理：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a | 选择合适方法解方程；韦达定理求根与系数关系 | — |
| 不等式 基础 | 不等式三性质（对称/传递/加乘同向）；一元一次不等式（组）解法；数轴表示法；解集交集 | 解不等式并在数轴上表示 | — |
初中 · 图形与几何
几何基础 · 全等相似 · 圆 · 证明
几何基础
| 知识板块 | 核心知识点 | 能力要求 | 3D 实验 |
|---|---|---|---|
| 相交线与平行线 基础 | 对顶角相等；邻补角互补；垂线的性质（直线外一点到直线的最短距离）；平行线判定（内错角/同位角/同旁内角）；平行线性质 | 用角度关系证明平行；计算角度 | — |
| 全等三角形 基础 | SSS/SAS/ASA/AAS/HL（直角三角）；对应边、对应角相等 | 证明三角形全等；用全等证明线段/角相等 | — |
| 等腰三角形 基础 | 等边对等角；"三线合一"（高、中线、角平分线）；特殊三角形：等腰直角三角形（45°-45°-90°，边比1:1:√2） | 等腰三角形的性质与判定 | — |
| 直角三角形 基础 | 勾股定理：a²+b²=c²；勾股数（3-4-5，5-12-13）；直角三角形的判定（RHS） | 用勾股定理求边长；判定直角三角形 | — |
| 相似三角形 九年级重点 | 平行线分线段成比例；相似三条件（AA/SAS/SSS）；相似比k；对应高/中线/角平分线比=k；黄金分割（(√5-1)/2） | 证明相似；用相似比求边长 | — |
圆
| 知识板块 | 核心知识点 | 能力要求 | 3D 实验 |
|---|---|---|---|
| 圆的基本性质 基础 | 圆心/半径/直径；弧（优弧/劣弧）；弦；圆周角定理（圆周角=同弧圆心角一半）；直径所对圆周角=90° | 圆心角与圆周角的转化 | — |
| 与圆有关的位置关系 基础 | 点与圆（内/上/外）；直线与圆（相离/相切/相割）；切线的性质（垂直于过切点半径）；切线长定理 | 证明切线；求切线长 | — |
| 正多边形 基础 | 正n边形内角和=(n-2)×180°；中心角=360°/n；边长、半径、边心距的关系 | 计算正多边形角度与边长 | — |
| 弧长与扇形 基础 | 弧长 l = n°/360° × 2πr；扇形面积 = n°/360° × πr² = ½rl；圆锥侧面积 = πrl；圆锥全面积 = πr²+πrl | 计算弧长、扇形面积、圆锥表面积 | — |
| 垂径定理 基础 | 垂直于弦的直径平分弦且平分所对两弧；推论：弦的垂直平分线过圆心 | 用垂径定理求弦长、半径 | — |
初中 · 函数与分析
函数基础 · 一次函数 · 二次函数 · 统计与概率
関数
| 知识板块 | 核心知识点 | 能力要求 | 3D 实验 |
|---|---|---|---|
| 平面直角坐标系 基础 | 原点/坐标轴/象限；点的坐标（x,y）；距离公式 d=√[(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²]；中点公式 M((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2) | 求点坐标；计算距离和中点 | — |
| 一次函数 基础 | y=kx+b（k斜率≠0）；k>0增函数，k<0减函数；b为y轴截距；图像为直线；求解析式（待定系数法） | 画函数图像；用一次函数解决实际问题 | — |
| 反比例函数 基础 | y=k/x（k≠0）；图像为双曲线（两支）；k>0在ⅠⅢ象限，k<0在ⅡⅣ象限；图像关于原点对称 | 用待定系数法求k；图像与面积 | — |
| 二次函数 九年级核心 | y=ax²+bx+c（a≠0）；顶点：(-b/2a, (4ac-b²)/4a)；开口方向（a>0向上）；对称轴 x=-b/2a；三种解析式：一般式/顶点式/交点式 | 求顶点坐标；画抛物线；用二次函数解实际问题（利润/拱桥/抛物线运动） | — |
统计与概率
| 知识板块 | 核心知识点 | 能力要求 | 3D 实验 |
|---|---|---|---|
| 统计量 基础 | 众数/中位数/平均数；方差 s²=Σ(xi-x̄)²/n（波动大小）；标准差 s=√s² | 计算各种统计量；用统计量分析数据特征 | — |
| 概率 基础 | 古典概型 P(A)=事件A包含基本事件数/总基本事件数；列表法/树状图法求概率；频率估计概率 | 用列表法或树状图求较复杂概率 | — |
| 用样本估计总体 基础 | 样本均值估计总体均值；样本方差估计总体方差；抽样调查的合理性 | 用样本统计量推断总体特征 | — |
高中 · 函数与导数
函数概念 · 指数对数 · 三角函数 · 导数
函数的基本概念
| 知识板块 | 核心知识点 | 能力要求 | 3D 实验 |
|---|---|---|---|
| 函数的三要素 基础 | 定义域（自变量取值范围）；对应法则 y=f(x)；值域（函数值集合）；相同函数的判断（同域同对应法则） | 求简单函数定义域；判断是否为同一函数 | — |
| 函数的基本性质 基础 | 单调性：增函数/减函数（定义法/导数法）；奇偶性：奇函数 f(-x)=-f(x)（原点对称），偶函数 f(-x)=f(x)（y轴对称）；周期函数 | 用定义或导数判断单调性；用奇偶性求函数值 | — |
| 分段函数 基础 | 不同区间有不同表达式的函数；图像特点（各段相连或不连）；求值：代入对应区间 | 画分段函数图像；求分段函数值 | — |
| 反函数 基础 | 存在条件：原函数必须单调；若 y=f(x) 存在反函数，则 f⁻¹(f(x))=x；反函数图像关于 y=x 对称 | 求简单函数的反函数 | — |
指数函数与对数函数
| 知识板块 | 核心知识点 | 能力要求 | 3D 实验 |
|---|---|---|---|
| 指数幂运算 基础 | aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ；(aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ；(ab)ⁿ=aⁿbⁿ；a⁰=1（a≠0）；负指数 a⁻¹=1/a；分数指数幂 aᵐ/ⁿ=ⁿ√aᵐ | 熟练进行指数幂运算 | — |
| 指数函数 基础 | y=aˣ（a>0且a≠1）；图像恒过(0,1)；a>1增函数，0<a<1减函数；与对数函数互为反函数 | 画指数函数图像；比较大小（借助函数单调性） | — |
| 对数运算 基础 | log_a MN = log_a M + log_a N；log_a Mⁿ = n·log_a M；换底公式：log_a M = ln M / ln a；常用对数 lg / 自然对数 ln | 对数运算综合题；换底公式应用 | — |
| 对数函数 基础 | y = log_a x（a>0且a≠1）；定义域 x>0；恒过(1,0)；a>1增函数，0<a<1减函数；与指数函数互为反函数 | 画对数函数图像；解对数方程 | — |
三角函数
| 知识板块 | 核心知识点 | 能力要求 | 3D 实验 |
|---|---|---|---|
| 弧度制 基础 | 弧度：弧长/半径；180°=π rad；角度弧度互化；弧长公式 l = |α|·r | 角度弧度互换；弧长与扇形面积 | — |
| 三角函数定义 基础 | 单位圆定义：sin α = y/r，cos α = x/r，tan α = y/x；同角三角函数关系：sin²α+cos²α=1；商关系：tan α = sin α / cos α | 已知一边一角求其他三角比 | — |
| 三角函数图像与性质 基础 | 正弦/余弦/正切函数的图像（五点法）；周期 T=2π/|ω|；振幅 A；相位 φ；初相 ωx+φ；单调区间；对称号 | 用五点法画三角函数图像；求单调区间 | — |
| 两角和差公式 基础 | sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ；cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ；tan(α±β)=(tanα±tanβ)/(1∓tanαtanβ) | 求复杂角三角函数值；化简三角式 | — |
| 二倍角公式 基础 | sin2α = 2sinαcosα；cos2α = cos²α - sin²α = 2cos²α-1 = 1-2sin²α；tan2α = 2tanα/(1-tan²α) | 二倍角化简与求值 | — |
| 辅助角公式 基础 | a·sin x + b·cos x = √(a²+b²)·sin(x+φ)，其中 tan φ = b/a（辅助角公式） | 合一变形求值域 | — |
| 正弦定理 基础 | a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R（R为外接圆半径） | 已知两边及夹角求第三边；求三角形面积 | — |
| 余弦定理 基础 | a² = b² + c² - 2bc·cosA；b² = a² + c² - 2ac·cosB；c² = a² + b² - 2ab·cosC | 已知三边求角；判断三角形形状（锐角/钝角） | — |
导数
| 知识板块 | 核心知识点 | 能力要求 | 3D 实验 |
|---|---|---|---|
| 导数的定义 基础 | f'(x₀) = lim_{Δx→0} [f(x₀+Δx)-f(x₀)]/Δx；几何意义：切线斜率；可导必连续，连续未必可导 | 用定义求导数；求曲线的切线方程 | — |
| 基本求导法则 基础 | (c)'=0；(xⁿ)'=nxⁿ⁻¹；(sin x)'=cos x；(cos x)'=-sin x；(eˣ)'=eˣ；(ln x)'=1/x；加减乘除求导法则；(f·g)'=f'g+fg'；(f/g)'=(f'g-fg')/g² | 复合函数求导（链式法则） | — |
| 导数与单调性 基础 | f'(x)>0 → f(x)严格增；f'(x)<0 → f(x)严格减；极值点：f'(x₀)=0 且左右符号相反；极值：一阶导数变号 | 求函数的单调区间和极值 | — |
| 导数与最值 基础 | 闭区间连续函数必取得最大值和最小值；最值点：区间端点或导数为零的极值点 | 求闭区间上的最值；解决优化问题（利润最大/用料最省） | — |
高中 · 不等式与向量
不等式 · 向量 · 复数
不等式
| 知识板块 | 核心知识点 | 能力要求 | 3D 实验 |
|---|---|---|---|
| 基本不等式 基础 | a²+b² ≥ 2ab（基本不等式）；√ab ≤ (a+b)/2 ≤ √[(a²+b²)/2]；等号成立条件：a=b | 用基本不等式求最值（"1"的代换/配凑法） | — |
| 均值不等式链 基础 | 调和平均数 ≤ 几何平均数 ≤ 算术平均数 ≤ 平方平均数（HH≤GH≤AH≤QH）；最常用：√ab ≤ (a+b)/2 | 多元不等式证明 | — |
| 线性规划 基础 | 二元一次不等式表示平面区域（直线一侧）；约束条件+目标函数 z=ax+by；最优解在区域顶点或边界 | 画可行域；求目标函数最值（截距法） | — |
| 绝对值不等式 基础 | |x|<a ↔ -a<x<a；|x|>a ↔ x>a 或 x<-a；|f(x)|<g(x) 型分段讨论；三角不等式 |a|-|b| ≤ |a±b| ≤ |a|+|b| | 解绝对值不等式 | — |
平面向量
| 知识板块 | 核心知识点 | 能力要求 | 3D 实验 |
|---|---|---|---|
| 向量的概念 基础 | 向量：大小+方向；表示：→AB 或 →a；模 |→a|；零向量（方向任意）；单位向量（|→a|=1）；平行向量（共线） | 向量的线性运算 | — |
| 向量运算 基础 | 加减：→a+→b（平行四边形/三角形）；数乘：λ→a；内积（点乘）：→a·→b = |→a||→b|cosθ；坐标运算：(x₁,y₁)+(x₂,y₂)=(x₁+x₂,y₁+y₂) | 用坐标运算求向量 | — |
| 向量与坐标 基础 | 平面直角坐标系中向量坐标；向量平行 →a∥→b ↔ x₁y₂-x₂y₁=0；向量垂直 →a⊥→b ↔ x₁x₂+y₁y₂=0；模：|→a|=√(x²+y²) | 向量平行/垂直的坐标条件应用 | — |
| 向量的应用 基础 | 向量在几何证明中的应用（证明中点平行）；向量在物理中的应用（力的分解/速度合成） | 用向量法解几何题 | — |
复数
| 知识板块 | 核心知识点 | 能力要求 | 3D 实验 |
|---|---|---|---|
| 复数的概念 基础 | i²=-1；复数：a+bi（a实部，b虚部）；a=0且b≠0为纯虚数；共轭复数：a+bi 与 a-bi | 识别复数类型；求共轭复数 | — |
| 复数的四则运算 基础 | 加减：实部虚部分别加减；乘法：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i；共轭复数性质：z·z̄=|z|²=a²+b² | 复数四则运算；求模 | — |
| 复数的几何意义 基础 | 复数平面（高斯平面）：实轴（Re）+ 虚轴（Im）；|z|的几何意义：点到原点距离；z₁-z₂的几何意义：两点间距离 | 用几何意义解复数问题 | — |
高中 · 数列与极限
等差数列 · 等比数列 · 数学归纳法 · 极限
数列
| 知识板块 | 核心知识点 | 能力要求 | 3D 实验 |
|---|---|---|---|
| 等差数列 基础 | 定义：aₙ₊₁-aₙ=d（常数）；通项：aₙ=a₁+(n-1)d；前n项和：Sₙ=n·(a₁+aₙ)/2 = n·[2a₁+(n-1)d]/2；等差中项：b=(a+c)/2 | 求通项；求前n项和；证明等差数列 | — |
| 等比数列 基础 | 定义：aₙ₊₁/aₙ=q（q≠0）；通项：aₙ=a₁·qⁿ⁻¹；前n项和：Sₙ=a₁(1-qⁿ)/(1-q)（q≠1）；等比中项：b=√(ac) | 求通项；求前n项和；实际增长问题 | — |
| 数列求和方法 基础 | 公式法；错位相减法（适用于{aₙ·bₙ}，其中{bn}等差）；裂项相消法（1/(n(n+1))）；倒序相加法 | 识别求和类型，选择恰当方法 | — |
| 数列递推与通项 基础 | aₙ₊₁=kaₙ+b 型（构造等比）；aₙ₊₁=kaₙ+q 型（构造等差）；an=pa(n-1)+q型（叠加法/迭代法） | 由递推公式求通项 | — |
极限与连续
| 知识板块 | 核心知识点 | 能力要求 | 3D 实验 |
|---|---|---|---|
| 数列极限 基础 | lim_{n→∞}aₙ=A；夹逼定理（Squeeze Theorem）；单调有界定理：单调有界数列必有极限 | 证明数列极限；求极限值 | — |
| 函数极限 基础 | lim_{x→x₀}f(x)=A；左右极限；x→∞时的极限；无穷小量：lim f(x)=0；无穷大量（趋于∞）；有界变量乘以无穷小量趋于0 | 用极限运算法则求函数极限 | — |
| 函数的连续性 基础 | 在x₀处连续：lim_{x→x₀}f(x)=f(x₀)；间断点分类（可去/跳跃/无穷）；闭区间连续函数必有最大值和最小值（极值定理） | 判断连续性；求间断点 | — |
高中 · 解析几何
直线 · 圆 · 椭圆 · 抛物线 · 双曲线
直线与圆
| 知识板块 | 核心知识点 | 能力要求 | 3D 实验 |
|---|---|---|---|
| 直线方程 基础 | 点斜式：y-y₀=k(x-x₀)；斜截式：y=kx+b；两点式：(y-y₁)/(y₂-y₁)=(x-x₁)/(x₂-x₁)；一般式：Ax+By+C=0；平行：k₁=k₂；垂直：k₁·k₂=-1 | 求直线方程；判断直线平行/垂直 | — |
| 直线与圆的位置关系 基础 | 圆心到直线的距离 d 与半径 r 比较：d>r 相离，d=r 相切，d<r 相割；相交弦长公式；切线长公式 | 判断位置关系；求切线方程 | — |
| 圆的方程 基础 | 标准式：(x-a)²+(y-b)²=r²；参数方程：x=a+r·cosθ，y=b+r·sinθ；一般式：x²+y²+Dx+Ey+F=0 | 由条件求圆的标准方程；圆与圆的位置关系 | — |
圆锥曲线
| 知识板块 | 核心知识点 | 能力要求 | 3D 实验 |
|---|---|---|---|
| 椭圆 重点 | 定义：|PF₁|+|PF₂|=2a（2a>2c）；标准方程：x²/a²+y²/b²=1（a>b>0，c²=a²-b²）；离心率 e=c/a；焦点在x轴；准线：x=±a²/c | 求椭圆方程；用定义解题；焦半径公式 | — |
| 双曲线 重点 | 定义：|PF₁|-|PF₂|=2a（2a<2c）；标准方程：x²/a²-y²/b²=1（a>0,b>0，c²=a²+b²）；离心率 e=c/a；渐近线：y=±(b/a)x | 求双曲线方程；渐近线方程；与椭圆/双曲线的综合题 | — |
| 抛物线 重点 | 定义：|PF|=|Pl|（点P到焦点的距离=到准线的距离）；标准方程：y²=2px（p为焦参数）；焦点（p/2,0）；准线：x=-p/2；焦点半径公式 | 求抛物线方程；求切线/法线；与直线位置关系 | — |
| 直线与圆锥曲线 基础 | 代入法求交点；弦长公式：√(1+k²)·|x₁-x₂|；中点弦问题（点差法）；圆锥曲线的光学性质 | 求弦长；用点差法求中点弦方程 | — |
高中 · 立体几何
空间向量 · 直线与平面 · 多面体
空间几何
| 知识板块 | 核心知识点 | 能力要求 | 3D 实验 |
|---|---|---|---|
| 空间直线与平面 基础 | 空间两条直线的位置关系（相交/平行/异面）；直线与平面的位置关系（线在面内/线面相交/线面平行）；面与面：平行/相交；线面平行的判定与性质 | 证明线面平行/垂直 | — |
| 空间几何体的表面积与体积 基础 | 柱体：S侧=Ch；锥体：S侧=½Cl；台体：S侧=½(C₁+C₂)l；球：S=4πr²；柱/锥/台/球体积公式 | 计算多面体和旋转体的表面积和体积 | — |
| 三视图与直观图 基础 | 三视图：正视图/侧视图/俯视图（长对正/高平齐/宽相等）；斜二测画法的规则（x轴水平，y轴向右下45°） | 由三视图还原几何体；画直观图 | — |
| 空间向量的基本运算 基础 | 空间直角坐标系（右手系）；空间向量坐标运算（加/减/数乘）；空间向量的内积（点乘）；空间直线方向向量；空间平面法向量 | 求直线的方向向量；求平面的法向量 | — |
| 空间中的角度 基础 | 异面直线所成角（平移法）；直线与平面所成角（线段在平面上的射影）；平面与平面所成二面角（法向量余弦）；余弦公式 cosθ = |→a·→b|/(|→a||→b|) | 用向量法求各种空间角度 | — |